Well-posedness and blow up for IBVP for semilinear parabolic equations and numerical methods

Abstract

Мы изучили устойчивость разностных схем, аппроксимирующих краевые задачи для параболических уравнений с нелинейным и немонотоннымисточником степенного типа. Мы получили простые достаточные условия на входные данные, при которых решение дифференциальной задачи глобально устойчиво при всех t. Показано, что если эти условия нарушаются, то решение может «взорваться» (обратиться в бесконечностьза конечное время). Была определена нижняя граница критического времени. Устойчивость решенияграничной задачи для нелинейного уравнения конвекции-диффузии была исследована. Во всех случаях мы использовали метод энергетических неравенств, основанный на применении теоремы сравнения Чаплыгина для нелинейных дифференциальных уравнений, неравенства типа Бихарии их дискретные аналоги.

We have proved the difference analogue of a Bihari-type inequality. Using this inequality, we study the stability in C and monotonicity of the difference schemes approximating initial-boundary value problems for nonlinear conservation laws and multi-dimensional parabolic equations. It has been shown that in the nonlinear case the stability and monotonicity are determined not only by the behavior of the approximate solution but also by its difference derivatives appearing in the nonlinear terms of the equation. The stability estimates are obtained without any assumptions about the properties of the solution and nonlinear coefficients of the differential problem. Here we use restrictions only on input data (initial and boundary conditions and the right-hand side). The sufficient conditions of the shock wave generation is formulated for input data. For the Riemann problem two exact and stable difference schemes are analyzed.