Обобщение теории Лионса для эволюционных дифференциальных уравнений первого порядка с гладкими операторными коэффициентами. I

Abstract

Доказаны теоремы существования и единственности слабых решений задачи Коши du(t)/dt+A(t)u(t)=f(t),t∈]0,T[;u(0)=u0∈H, где линейные неограниченные замкнутые операторы A(t) в гильбертовом пространстве H (вообще говоря, с несимметрическими главными частями) имеют зависящие от t области определения D(A(t)) и [u]2(t)≡Re(A(t)u+c0u,u)H⩾c1|u|2H, c0⩾0, c1>0, ∀u∈D(A(t)). Их сопряженные операторы A∗(t) в H имеют зависящие от t области определения D(A∗(t)) и Re(A∗(t)v+c0v,v)H⩾c1|v|2H ∀v∈D(A∗(t)). Обратные A−10(t) операторам A0(t)=A(t)+c0I сильно непрерывны no t и ограничены в H, при почти всех t имеют ограниченную в H слабую производную dA−10(t)/dt и c0|(A−10(t)g,h)H|⩽c2[A−10(t)g](t)|h|H,|((dA−10(t)/dt)g,h)H|⩽c3[A−10(t)g](t)|h|H∀g,h∈H,c2,c3⩾0. Построен новый класс дифференциальных операторов в частных производных четных порядков A(t) с симметрическими главными частями и их зависящих от t областей определения D(A(t)), которые удовлетворяют условиям этих теорем существования и единственности слабых решений.