Линейные дифференциальные уравнения с обобщенными коэффициентами с точки зрения теории мнемофункций

Abstract

Дифференциальные уравнения, коэффициенты которых являются обобщенными функциями, представляют как теоретический, так и приклад ной интерес. Функции, которые естественно считать решениями уравнений, в таких ситуациях оказываются разрывными или обобщенными функциями и в рамках классической теории обобщенных функций не могут быть подставлены в уравнения, так как не определено произведение обобщенных функций [I, с. 37]. Среди задач такого характера можно указать, например, ряд задач оптимального управления, где оптимальные управления имеют импульсный характер и описываются с помощью 6-функции [2]. Различные подходы к преодолению возникающих сложностей разрабатывались рядом авторов, обзор результатов содержится в (2—6]. Один из подходов заключается в построении вместо обобщенных функций пространств из новых объектов, называемых новыми обобщенными «пункциями, для которых определено ассоциативное умножение. Общий метод построения таких пространств предложен в [7]. По своему построению новые обобщенные функции сохраняют информацию о способе их получения из гладких, т. е. в определенном смысле обладают памятью, в связи с чем их было предложено [8] называть мнемофункциями (от греческого pvf|pr) — память).