О множестве периодов периодических решений модельного квазилинейного дифференциального уравнения

Abstract

Квазилинейные дифференциальные уравнения вида Lu = F(u), где L - линейный дифференциальный оператор, F(u) - нелинейная часть, удовлетворяющая условию Липшица, наиболее просто исследуются в случае, когда оператор L имеет ограниченный обратный в соответствующих пространствах. Тогда исходное уравнение сводится к уравнению вида и = L~l F(u), к которому может быть применен принцип сжимающих отображений. Вместе с тем часто оказывается, что обратный L оператор существует, но является неограниченным. Первоначальная цель настоящей работы - обратить внимание на то, что при неограничен ном обратном операторе L~l встречаются ситуации, когда произведение L~l F(u) удовлетворяет условию Липшица. Если рассмотреть семейство уравнений Ььи = F(u), зависящее от параметра Ь, д л я которых проявляется данный эффект, то отображение L^l F(u) может оказаться сжимающим только д л я некоторого множества В значений параметра 6, причем множество В оказывается достаточно сложно устроенным. Таким образом, в процессе исследования возникла новая задача - описать структуру указанного множества. В работе такое описание получено д л я конкретного семейства уравнений, которые могут быть модельными для последующих исследований.