Пожалуйста, используйте этот идентификатор, чтобы цитировать или ссылаться на этот документ:
https://elib.bsu.by/handle/123456789/344031| Заглавие документа: | Субдифференцируемость функций, выпуклых относительно множества липшицевых вогнутых функций |
| Другое заглавие: | The subdifferentiability of functions convex with respect to the set of Lipschitz concave functions |
| Авторы: | Гороховик, В.В. Тыкун, А.С. |
| Тема: | ЭБ БГУ::ЕСТЕСТВЕННЫЕ И ТОЧНЫЕ НАУКИ::Математика |
| Дата публикации: | 2022 |
| Издатель: | Национальная академия наук Беларуси |
| Библиографическое описание источника: | Весці Нацыянальнай акадэміі навук Беларусі. Серыя фізіка-матэматычных навук.2022;Т. 58(1): С. 7-20 |
| Аннотация: | Функция, определенная на нормированном пространстве <i>X</i>, называется выпуклой относительно множества <i>LĈ:= LĈ (X,ℝ) </i>липшицевых классически вогнутых функций (далее для краткости - <i>LĈ</i> -выпуклой), если она является верхней огибающей некоторого подмножества функций из <i>LĈ</i>. Функция является <i>LĈ</i> -выпуклой в том и только том случае, когда она полунепрерывна снизу и, кроме того, ограничена снизу некоторой липшицевой функцией. В статье вводится понятие <i>LĈ</i> -субдифференцируемости функции в точке, т. е. субдифференцируемости относительно липшицевых вогнутых функций, обобщающее понятие субдифференцируемости классически выпуклых функций, и доказывается, что для любой <i>LĈ</i> -выпуклой функции множество точек, в которых она является <i>LĈ</i> -субдифференцируемой, является плотным в ее эффективной области. Данное утверждение распространяет на более широкий класс полунепрерывных снизу функций известную теорему Брондстеда - Рокафеллара о существовании субдифференциала для классически выпуклых полунепрерывных снизу функций. Используя элементы подмножества <i>LĈ</i><sub>θ</sub> ⊂ <i>LĈ</i> , состоящего из таких липшицевых вогнутых функций, которые принимают нулевое значение в нулевой точке пространства <i>X</i>, определяются понятия <i>LĈ</i><sub>θ</sub>-субградиента и <i>LĈ</i><sub>θ</sub>-субдифференциала функции в точке. Исследуются свойства <i>LĈ</i><sub>θ</sub>-субдифференциалов и их связь с классическим субдифференциалом Фенхеля - Рокафеллара. Рассматривая в качестве элементарных функций множество <i>LČ:= LČ (X,ℝ)</i> липшицевых выпуклых (в классическом смысле) функций, вводятся симметричные <i>LĈ</i>-выпуклости и <i>LĈ</i> -субдифференцируемости понятия <i>LČ</i>-вогнутости и <i>LČ</i>-супердифференцируемости функций. В терминах <i>LĈ</i><sub>θ</sub>-субдифференциалов и <i>LČ</i><sub |
| Аннотация (на другом языке): | A function defined on normed vector spaces <i>X</i> is called convex with respect to the set <i>LĈ := LĈ (X,ℝ)</i> of Lipschitz continuous classically concave functions (further, for brevity, <i>LĈ</i>-convex), if it is the upper envelope of some subset of functions from <i>LĈ</i>. A function <i>ƒ</i> is <i>LĈ</i>-convex if and only if it is lower semicontinuous and bounded from below by a Lipschitz function. We introduce the notion of <i>LĈ</i>-subdifferentiability of a function at a point, i. e., subdifferentiability with respect to Lipschitz concave functions, which generalizes the notion of subdifferentiability of classically convex functions, and prove that for each <i>LĈ</i>-convex function the set of points at which it is <i>LĈ</i>-subdifferentiable is dense in its effective domain. The last result extends the well-known Brondsted - Rockafellar theorem on the existence of the subdifferential for classically convex lower semicontinuous functions to the more wide class of lower semicontinuous functions. Using elements of the subset <i>LĈ</i><sub>θ</sub> ⊂ <i>LĈ</i>, which consists of Lipschitz continuous functions vanishing at the origin of <i>X</i> we introduce the notions of <i>LĈ</i><sub>θ</sub>-subgradient and <i>LĈ</i><sub>θ</sub>-subdiflerential for a function at a point. The properties of <i>LĈ</i>-subdifferentials and their relations with the classical Fenchel - Rockafellar subdifferential are studied. Considering the set <i>LČ:= LČ (X,ℝ)</i> of Lipschitz continuous classically convex functions as elementary ones we define the notions of <i>LĈ</i>-concavity and <i>LĈ</i>-superdifferentiability that are symmetric to the <i>LĈ</i>-convexity and <i>LĈ</i>-subdifferentiability of functions. We also derive criteria for global minimum and maximum points of nonsmooth functions formulated in terms of <i>LČ</i><sub>θ</sub>-subdiflerentials and <i>LČ</i><sub>θ</sub>-superdiflerentials. |
| URI документа: | https://elib.bsu.by/handle/123456789/344031 |
| DOI документа: | 10.29235/1561-2430-2022-58-1-7-20 |
| Лицензия: | info:eu-repo/semantics/openAccess |
| Располагается в коллекциях: | Кафедра веб-технологий и компьютерного моделирования (статьи) |
Полный текст документа:
| Файл | Описание | Размер | Формат | |
|---|---|---|---|---|
| 625-1279-1-SM.pdf | 943,32 kB | Adobe PDF | Открыть |
Все документы в Электронной библиотеке защищены авторским правом, все права сохранены.