Субдифференцируемость функций, выпуклых относительно множества липшицевых вогнутых функций

Abstract

Функция, определенная на нормированном пространстве <i>X</i>, называется выпуклой относительно множества <i>LĈ:= LĈ (X,ℝ) </i>липшицевых классически вогнутых функций (далее для краткости - <i>LĈ</i> -выпуклой), если она является верхней огибающей некоторого подмножества функций из <i>LĈ</i>. Функция является <i>LĈ</i> -выпуклой в том и только том случае, когда она полунепрерывна снизу и, кроме того, ограничена снизу некоторой липшицевой функцией. В статье вводится понятие <i>LĈ</i> -субдифференцируемости функции в точке, т. е. субдифференцируемости относительно липшицевых вогнутых функций, обобщающее понятие субдифференцируемости классически выпуклых функций, и доказывается, что для любой <i>LĈ</i> -выпуклой функции множество точек, в которых она является <i>LĈ</i> -субдифференцируемой, является плотным в ее эффективной области. Данное утверждение распространяет на более широкий класс полунепрерывных снизу функций известную теорему Брондстеда - Рокафеллара о существовании субдифференциала для классически выпуклых полунепрерывных снизу функций. Используя элементы подмножества <i>LĈ</i>_θ ⊂ <i>LĈ</i> , состоящего из таких липшицевых вогнутых функций, которые принимают нулевое значение в нулевой точке пространства <i>X</i>, определяются понятия <i>LĈ</i>_θ-субградиента и <i>LĈ</i>_θ-субдифференциала функции в точке. Исследуются свойства <i>LĈ</i>_θ-субдифференциалов и их связь с классическим субдифференциалом Фенхеля - Рокафеллара. Рассматривая в качестве элементарных функций множество <i>LČ:= LČ (X,ℝ)</i> липшицевых выпуклых (в классическом смысле) функций, вводятся симметричные <i>LĈ</i>-выпуклости и <i>LĈ</i> -субдифференцируемости понятия <i>LČ</i>-вогнутости и <i>LČ</i>-супердифференцируемости функций. В терминах <i>LĈ</i>_θ-субдифференциалов и <i>LČ</i><sub