Метод ортогональных многочленов для приближённого решения сингулярных интегро-дифференциальных уравнений в приложении к двумерным задачам дифракции

Abstract

Рассматривается математическая модель рассеяния H-поляризованных электромагнитных волн на экране с криволинейной границей, основанная на сингулярном интегро-дифференциальном уравнении с ядром Коши и логарифмической особенностью. Подынтегральные выражения содержат как искомую функцию, так и её первую производную. Для численного анализа данной модели построены две вычислительные схемы, основанные на представлении искомой функции в виде линейной комбинации ортогональных многочленов Чебышёва и спектральных соотношениях, позволяющих получить простые аналитические выражения для сингулярной составляющей уравнения. Коэффициенты разложения решения по базису полиномов Чебышёва вычисляются как решение соответствующей системы линейных алгебраических уравнений. Результаты численных экспериментов показывают, что на сетке из 20--30 узлов погрешность приближённого решения не превышает вычислительной погрешности.