Свойство Пенлеве и деформация линейных дифференциальных систем. Часть I.

Abstract

The Painlevé equations can be regarded as completely integrable equations and possess solutions which can be expressed in terms of solutions of linear integral equations, despite being nonlinear equations. Although first discovered from strictly mathematic-cal considerations, the Painlevé equations have arisen in a variety of important physical applications. They possess hierarchies of rational solutions and one-parameter families of solutions expressible in terms of the classical special functions, for special values of the parameters. In the general case the Painlevé transcendents may be thought of a nonlinear analogues of the classical special functions. Further the Painlevé equations admit symmetries under affine Weyl groups which are related to the associated Bäcklund transformations. In this paper many of the remarkable properties which the Painlevé equations possess are reviewed including some representations, Bäcklund transformations associated discrete equations, and hierarchies of exact solutions. In particular, the second Painlevé equation (Р2) is primarily used to illustrate these properties and higher analogous of (Р2) are also discussed. = В обзорной статье рассматриваются свойства решений уравнений Пенлеве, связанные с их представлением и наличием группы преобразований Беклунда. Уравнения Пенлеве для специальных значений параметров обладают иерархией рациональных, алгебраических решений и однопараметрическим семейством решений, выражающихся через классические специальные функции. В общем случае трансценденты Пенлеве определяют новые специальные функции. Уравнения Пенлеве имеют гамильтонову структуру, допускают группу преобразований Беклунда, изоморфную аффинной группе Вейля и связанную с дискретными уравнения-ми. Хотя впервые уравнения Пенлеве возникли из чисто математических рассмотрений, в настоящее время они находят широкие приложения в важных физических задачах. Свойства уравнений Пенлеве иллюстрируются в основном на втором уравнении Пенлеве, а также рассматриваются его высшие аналоги.