Неавтономные динамические системы с переходными режимами: спектральный и фрактальный анализ с приложениями к физическим, экономическим и экологическим моделям : отчет о научно-исследовательской работе (заключительный) / БГУ ; научный руководитель А. В. Лебедев

Abstract

Объектами исследования являются спектральные характеристики трансфер-операторов и краевых задач в нерегулярном случае, энтропия и другие количественные характеристики хаотичности операторов переноса, операторные алгебры, порождённые новыми классами операторов переноса. Целями было построение корректных краевых задач в нерегулярном случае, при отсутствии экспоненциальной дихотомии; проведение анализа тонких спектральных свойств новых классов трансфер-операторов и переходных процессов; исследование устойчивости и неустойчивости процессов в пограничных ситуациях; развитие операторных методов некоммутативного гармонического алгебраических объектов, порожденных необратимыми и неавтономными эволюционными процессами; разработка методов вычисления энтропии, фрактальных размерностей и других количественных характеристик хаотичности операторов переноса. Результаты: в результате проведённой работы получены условия на коэффициенты функциональных операторов, при которых имеется разрывность спектрального радиуса. В приложениях к моделированию процессов превращения частиц это позволяют найти неустойчивые критические состояния экологических систем, в которых при сколь угодно малых изменениях внешних условий может возникнуть экологическая катастрофа. Построены и детально исследованы новые алгебры мнемофункций, для алгебры рациональных мнемофункций найдены необходимые и достаточные условия того, что произведение мнемофункций ассоциировано с классической обобщенной функцией. Проведено исследование систем дифференциальных уравнений с дельта-образными коэффициентами и выявлены отличия их свойств от скалярных уравнений. Для линейных уравнений дифференциальных уравнений с обобщенными коэффициентами обнаружено, что обобщенные решения существуют только для обобщенных коэффициентов специального вида. Сконструированы операторные алгебры, порожденных новыми классами операторов переноса и проведено их исследование методами некоммутативного гармонического анализа, Разработаны методы подсчета хаусдорфовых размерностей узких бассейнов в пространстве последовательностей. Выявлен информационный смысл энтропии для широкого класса неэргодических мер. Разработаны вариационные принципы и lim−sup методы подсчета спектрального радиуса взвешенных эндоморфизмов C(X,D) на базе вычисления показателей Ляпунова и интегралов по эргодическим мерам.