О классическом решении смешанной задачи для линейного нестрого гиперболического уравнения четвертого порядка с одной кратной характеристикой

Abstract

Данная статья посвящена построению классического решения смешанной задачи для линейного однородного нестрого гиперболического уравнения четвертого порядка, оператор которого представляет собой четырехкратную композицию одного и того же оператора первого порядка, с постоянными коэффициентами и четырехкратной характеристикой. Для корректной постановки данной задачи граничные условия задаются не на всей боковой границе, что является ее особенностью. Для построения решения используется метод характеристик. Согласно этому методу, в общем решении исходного уравнения присутствуют четыре неизвестные функции, которые на области определения находятся из начальных и граничных условий. Классическое решение построено для случая отсутствия производных младших порядков. Получены достаточные условия гладкости и согласований граничных условий с начальными условиями и уравнением. Гладкость исходных данных нужна для четырежды непрерывной дифференцируемости решения. Условия согласования нужны для четырежды непрерывной дифференцируемости решения на критической характеристике. Доказана теорема существования единственного классического решения этой смешанной задачи. Полученные результаты могут быть применены в теории уравнений с частными производными и в вычислительной математике. In the work is constructed the classical solution of mixed value problem for not strictly hyperbolic homogeneous equation of the fourth order with constant coefficients and the multiple characteristics. We use the method of characteristics to solve this problem. According to this method, general solution of the equation contains the sum of four functions, which are found from initial and boundary conditions. This general solution is constructed for the both cases: with the presence or absence derivatives of lower orders. We obtained matching conditions for initial and boundary conditions. These conditions follow from the requirement of four times continuous differentiability of the solution taking into account smoothness of the functions. A theorem on the existence of a unique classical solution has been proved. The obtained results can be used in the theory of differential equations with partial derivatives and in the computational mathematics.