Символ-алгебры и цикличность алгебр после расширения скаляров

Abstract

Пусть F —поле. Для семейства центральных простых F-алгебр мы доказываем, что существует регулярное расширение E/F, сохраняющее индексы F-алгебр, такое что все алгебры семейства циклические после расширения скаляров до E. Пусть A— центральная простая F-алгебра степени n и примитивный корень степени n из едини- цы принадлежит F. Построено квазиаффинное F-многообразие Symb(A), такое что для расширения L/F многообразие Symb(A) обладает L-рациональной точкой то- гда и только тогда, когда A⊗F L—символ-алгебра. Пусть A—центральная простая F-алгебра степени n и K/F —циклическое расширение степени n. Построено ква- зиаффинное F-многообразие C(A,K), такое что для расширения L/F со свойством [KL : L] = [K : F] многообразие C(A,K) обладает L-рациональной точкой тогда и только тогда, когда KL—подполе алгебры A⊗F L.