Асимптотически касательный конус второго порядка к множествам и условия оптимальности в задачах оптимизации с ограничениями

Abstract

Следуя Penot J. P. (SIAM J. Control and Optimization. - 1998. - Vol. 37, No. 1. P. 303-318), в работе рассматриваются более широкие (по сравнению с традиционными) локальные аппроксимации второго порядка для множеств, в которых наряду с касательными векторами второго порядка используются также асимптотически касательные векторы второго порядка. В настоящей работе дается новое определение асимптотически касательных векторов второго порядка, основанное на расширении нормированного пространства бесконечно удаленными точками, образующими горизонт (см. Rockafellar R. T., Wets R. J.-B. Variational analysis. Berlin: Springer-Verlag, 1998). В приложении к задаче минимизации гладкой функции на абстрактном подмножестве нормированного пространства такое расширение локальных аппроксимаций множеств позволяет дополнить известные необходимые условия локального минимума новым необходимым условием второго порядка, которое имеет вид неравенства, зависящего от асимптотически касательных векторов второго порядка. Особенно важно то, что в конечномерных пространствах совокупности (состоящей из известных и новых) необходимых условий локального минимума первого и второго порядка соответствуют достаточные условия строгого локального минимума, которые отличаются от необходимых лишь заменой в условиях второго порядка неравенств строгими неравенствами.