Обобщение теоремы Харди–Лнттлвуда о функциях с производной из пространства H1

Abstract

Пусть функция $f$ аналитична в круге $D=\{z:\vert z\vert<1\}$ и принадлежит пространству Харди $H_1$. Тогда, согласно теореме Харди–Лнттлвуда, следующие условия равносильны: (а) $f'\in H_1$; (б) $f$ почти всюду на $\partial D$ совпадает с некоторой функцией ограниченной вариации; (в) $f$ почти всюду на $\partial D$ совпадает с некоторой абсолютно непрерывной функцией; (г) для интегрального модуля непрерывности функции $f-\omega(f,\delta)$ выполняется соотношение $\omega(f,\delta)=O(\delta)$. В работе дается обобщение этой теоремы для высших производных и пространств $H_p$. Для этого используются понятия обобщенной абсолютной непрерывности, обобщенной вариации и интегральных модулей гладкости высших порядков.