Новое доказательство неравенства Семмеса для производной рациональной функции

Abstract

В открытом круге $\vert z\vert<1$ комплексной плоскости рассматриваются следующие пространства функций: $\mathscr B$ – пространство Блоха; $H^\alpha _p$, $\alpha\ge0$, $0<p\le\infty $, – пространство Харди–Соболева; $B^\alpha _p$, $\alpha\ge0$, $0<p\le\infty $, – пространство Харди–Бесова. Показано, что если все полюсы рациональной функции $R$ степени $n$, $n=1,2,3,\dots$, лежат в области $\vert z\vert>1$, то $\Vert R\Vert _{H^\alpha _{1/\alpha }}\le cn^\alpha \Vert R\Vert _{\mathscr B}$, $\Vert R\Vert _{B^\alpha _{1/\alpha }}\le cn^\alpha \Vert R\Vert _{\mathscr B}$, где $\alpha >0$, а $c>0$ зависит лишь от $\alpha $. Второе из этих неравенств в случае полуплоскости было получено Семмесом в 1984 году. Доказательство Семмеса основано на ганкелевых операторах, а наше – на специальном интегральном представлении рациональной функции.