Равномерные рациональные приближения и пространства Харди–Соболева

Abstract

Для функции $g$, непрерывной на компактном множестве $K\subset\widehat{\mathbb{C}}$, через $R_n(g,K)$ обозначим наилучшее равномерное приближение посредством рациональных дробей степени не выше $n$, $n=1,2,\dots$. Когда $K$ есть круг или окружность, Е. П. Долженко, Е. А. Севастьянов и автор получили прямые и обратные теоремы, связывающие поведение $R_n(g,K)$ с принадлежностью $g$ некоторому пространству Харди–Соболева. В настоящей работе эти результаты распространены на случай, когда $K$ – полуплоскость, прямая, полупрямая или отрезок. Сформулируем одно из следствий. Пусть $K=[0,+\infty]$ или $[0,1]$, $g\in C(K)$, $\gamma>0$ и $g_\gamma(x)=g(x^\gamma)$. Тогда для каждого фиксированного $s=1,2,\dots$ выполняется неравенство

$\displaystyle R_n(g_\gamma,K)\le\frac{c}{n^s}\left[\sum_{k=0}^{n}R_k(g,K)^{1/s}\right]^s, $

где $c>0$ и не зависит от $n,g$.