Неравенства типа Бернштейна для производных рациональных функций в пространствах Lp при p<1

Abstract

В работе показано, что если $r$ – рациональная функция степени $n$, $0<p<1$, причем $1/p\notin\mathbb{N}$, и $r\in L_p(-1,1)$, то для любого $s\in\mathbb{N}$ выполняется неравенство

$\displaystyle \left(\int _{-1}^1\vert r^{(s)}(x)\vert^\sigma\,dx\right)^{1/\sigma} \leqslant cn^s\left(\int _{-1}^1\vert r(x)\vert^p\,dx\right )^{1/p},$ (1)

где $\sigma =(s+1/p)^{-1}$, а $c>0$ и зависит лишь от $p$ и $s$.

Задача о получении неравенства (1) поставлена Е. А. Севастьяновым в 1973 г. и была решена до настоящего времени для $1<p\leqslant\infty$. В случае $1/p\in\mathbb{N}$ это неравенство не выполняется. В работе даны также некоторые приложения (1) к задачам рациональной аппроксимации. Аналогичные вопросы рассматриваются для прямой и окружности.