Об инфимальной топологии пространства отображений

Abstract

The subject of the study is a family of different topologies on the set of continuous maps C(X, Y) with metrizable Y, especially the topologies of uniform convergence and the topology inf determined as the infimum of all topologies of the type XY µ (µ=µ(ρ) – the metric of uniform convergence generated by an admissible metric on Y). Necessary and sufficient conditions for consistency of topology with the metric of uniform convergence were established. Theorem (3.3). If Y is locally compact and second-countable, then for some metric ∗ on Y. At that, the metric can be chosen so that the completion is compact with a one-point remainder \ .Theorem (3.4). Let the space Y is locally transitive moveable and DC-connected and the closure [ ( )]Y of the set ( )is not compact for some f∈C(X, Y). Then if where ( ),hen the space Y is locally compact and secondcountable, and the metric ∗admits a compact completion ( Y, ρ) with a one-point remainder \ . = Продолжено исследование топологий на множестве всех непрерывных отображений C(X, Y), где пространство Y метризуемо, в частности топологий равномерной сходимости XY и топологии наибольшей по включению, содержащейся во всех топологиях вида (µ = µ(ρ) – метрика равномерной сходимости, порожденная допустимой метрикой ρ на Y). Установлены необходимое и достаточное (при некоторых дополнительных ограничениях) условия согласованности топологии с некоторой метрикой равномерной сходимости. Теорема (3.3). Если пространство Y локально компактно и со счетной базой, то τ Y для некоторой метрики ρна Y. При этом метрику ∗можно подобрать так, что пополнение ( ρ)компакт с одноточечным наростом . Теорема (3.4). Пусть пространство Y локально транзитивно подвижно и DC-связано и замыкание [ ( )]Y множества f не компактно для некоторого f∈C(X, Y).