О граничном поведении функций из пространств типа Харди

Abstract

Пусть $X$ – топологическое пространство с мерой $\mu$. В произведении $\mathscr X=X\times(0,T]$ (или $\mathscr X=X\times[0,1)$) с помощью простых аксиом выделяется семейство областей подхода $\Gamma=\{\Gamma(x):x\in X\}$ к границе $\mathscr X$. С семейством $\Gamma$ связывается максимальная функция

$\displaystyle \mathscr M_\Gamma u(x)=\sup\{\vert u(y,t)\vert:(y,t)\in\Gamma(x)\}. $

Вводятся пространства $\mathscr H^p(\mathscr X,\Gamma,\mu)$, состоящие из непрерывных на $\mathscr X$ функций $u$, для которых $\mathscr M_\Gamma u\in L^p$, а также их подпространства, состоящие из функций, п.в. имеющих $\Gamma$-предел. Изучаются свойства пространств $\mathscr H^p$ и действие в них операторов сглаживающего типа. Полученные результаты применяются к пространствам Харди гармонических или голоморфных функций.