О супремальной топологии пространства отображений

Abstract

The subject of the study is different topologies on the set of continuous maps C(X,Y) with metrizable Y, especially the topologies of uniform convergence τμ( X ,Y ) and the topology τsup(X ,Y ) determined as the supremum of all topologies of the type τμ( X ,Y ). The main result was obtained in assumption that space X is completely regular and space Y is metrizable, linear connected and locally moveable. Theorem. The topology τsup(X ,Y ) has a countable tightness (τsup(X ,Y ) – k-topology) if and only if Y is compact or X is pseudocompact. At that all topologies of the type τμ( X ,Y ) coincide. = Продолжено исследование топологий на множестве всех непрерывных отображений C(X,Y), где пространство Y метризуемо, в частности топологий равномерной сходимости τμ( X ,Y ) и топологии τsup(X ,Y ), определенной как супремум всех топологий вида τμ( X ,Y ) Найдена новая характеристика метризуемости топологии τsup(X ,Y ) в предположении, что пространство X вполне регулярно, а пространство Y метризуемо, линейно связно и локально подвижно. Теорема. Топология τsup(X ,Y ) имеет счетную тесноту (является k-топологией) тогда и только тогда, когда Y компактно или X псевдокомпактно. При этом все топологии вида τμ( X ,Y ) совпадают.