Бирациональная композиция квадратичных форм над конечным полем

Abstract

Let f(X) and g(Y) be nonsingular quadratic forms over field K having dimension m and n, char K≠ 2. The following problem of a birational composition f(X) and g(Y) is considered: under which conditions the product f(X)g(Y) is birationaly eduivalent overK to a quadratic form h(Z) of dimension m+n overK? The main result of the paper is a complete of the berational composition problem for quadratic forms f(X) and g(Y) over a finite field Fq, char Fq ≠ 2. = Пусть f(X) и g(Y) – невырожденные квадратичные формы размерности m и n над полем К, char K≠2. Рассматривается проблема бирациональной композиции f(X) и g(Y): когда произведение f(X)g(Y) бирационально эквивалентно над К квадра- тичной форме h(Z) над К размерности m+n? Дано полное решение проблемы бирациональной композиции квадратичных форм над конечным полем Fq, char Fq≠ 2: доказано, что для квадратичных форм f(X) и g(Y) над полем Fq всегда существует бирациональная композиция h(Z) над Fq, описано множество квадратичных форм, которые подходят в качестве h(Z) в этом случае. Получено необходимое условие существования бирациональной композиции квадратичных форм f(X) и g(Y) над полем К: индекс [K* : K*2 ] ≤ 2. Обсуждается достаточность этого условия.