О мероморфных решениях уравнений, связанных с первым уравнением Пенлеве

Abstract

Рассмотрена обобщенная иерархия первого уравнения Пенлеве, которая представляет собой последовательность полиномиальных обыкновенных дифференциальных уравнений четного порядка, имеющих единую дифференциально-алгебраическую структуру, определяемую оператором Ln. Первый член этой иерархии при n = 2 есть первое уравнение Пенлеве, а последующие уравнения порядка 2n – 2 содержат произвольные параметры. Их называют высшими аналогами первого уравнения Пенлеве порядка 2n – 2. Исследованы аналитические свойства решений уравнений обобщенной иерархии первого уравнения Пенлеве и связанных с ними линейных уравнений. Установлено, что каждое уравнение иерархии имеет один доминирующий член, а произвольное мероморфное решение любого уравнения иерархии не может иметь конечное число полюсов. Определен характер подвижных полюсов мероморфных решений. С использованием метода Фробениуса получены достаточные условия мероморфности общего решения линейных уравнений второго порядка с линейным потенциалом, определяемым мероморфными решениями первых трех уравнений иерархии.