Метод слабых решений вспомогательной задачи Коши для исследования гладкости решений гиперболических дифференциально-операторных уравнений второго порядка с переменными областями определения

Abstract

New theorems of the smoothness of week solutions of the Cauchy problem for hyperbolic second-order operator-differential equation with variable domain are proved. The criteria on initial data for the existence and the uniqueness of strong and smooth solutions of the Cauchy problem are established. The necessary and sufficient conditions of the existence and the uniqueness of smooth solutions of a mixed problem for a wave equation with a time-dependent boundary condition are indicated. = Предложен метод слабых решений вспомогательной задачи Коши для повышения гладкости слабых решений гиперболических дифференциально-операторных уравнений с переменными областями определения. Этим методом впервые доказано существование второй обобщенной производной сильных решений при тех же предположениях и существование гладких решений при более слабых ограничениях на переменные области определения операторов, чем требовались ранее. Доказаны два критерия корректной разрешимости задачи Коши для гиперболических дифференциально-операторных уравнений второго порядка с переменными областями определения, которые содержат необходимые и достаточные условия на начальные данные для существования и единственности сильных и гладких решений этой задачи Коши. Доказана теорема о необходимых и достаточных условиях на начальные данные для существования и единственности гладких решений смешанной задачи для уравнения колебаний струны при нестационарном граничном условии.