Об использовании групп симметрий Ли для моделей временной структуры доходности процентных ставок с нелинейными функциями дрейфа и квадрата волатильности

Abstract

Одной из центральных задач финансового анализа является изучение поведения динамики процентных ставок. Наиболее известные аффинные модели не способны описать реальные кривые доходности с необходимой точностью, поэтому все чаще исследователи пытаются построить более сложные и, как считается, правдоподобные неаффинные модели временной структуры доходности процентных ставок. Одной из главных проблем такого построения является решение параболического дифференциального уравнения в частных производных, задающего стоимость бескупонной облигации: для исследования свойств моделей удобно иметь решение в аналитическом виде. В данной работе рассматривается обобщенная модель с нелинейными функциями дрейфа и квадрата волатильности, которая включает в себя большинство уже известных моделей. Для решения параболического уравнения, связанного с такой моделью, используется теория групп Ли, позволяющая систематизировать и полностью алгоритмизировать подход к построению решений. В результате найдены решения некоторых частных случаев моделей, как новых, не встречавшихся ранее автору, так и уже известных. Также для неаффинной модели Ана – Гао получено более общее по сравнению с оригинальным решение. В завершение проведен численный эксперимент с использованием реальных данных Европейского центрального банка.