Диффузия броуновских частиц в пространственно-периодическом потенциале с конечным временем жизни

Abstract

Описывается движение броуновских частиц в периодическом асимметричном потенциале, имеющем конечное время жизни. Предполагается, что в начальный момент времени на каждом периоде потенциала и в определенной его точке находится по одной частице. Затем происходит диффузионное движение частиц в этом потенциале. Ставится задача вычислить плотности вероятности нахождения частицы в рассматриваемом потенциальном профиле с заданным временем жизни. Показано, что искомая плотность вероятности является преобразованием Лапласа от функции Грина уравнения Смолуховского с периодическими граничными условиями. Поставленная задача решается аналитически для пилообразного потенциала, представляющего собой кусочно-линейную функцию. Получены явные выражения и дано графическое представление плотности вероятности, проанализированы ее свойства в зависимости от параметров задачи – времени жизни потенциального профиля и высоты потенциального барьера относительно тепловой энергии. Обсуждается применение полученных результатов для расчетов характеристик броуновских моторов, которыми моделируются искусственно создаваемые наноразмерные устройства, выпрямляющие неравновесные флуктуации в направленное движение частиц. = We consider the motion of Brownian particles in a spatially periodic asymmetric potential with a finite life-time. It is assumed that, at the initial time, there is one particle for each period at a certain point. Further, the diffusion in this potential takes place. The problem definition is to calculate the probability density to find a particle in the potential profile considered, which is characterized by a finite life-time. It is shown that the desired quantity is the Laplace transformation of Green’s function of the Smoluchowski equation with certain boundary conditions. The problem is solved for the sawtooth potential profile described by a piecewise-linear function. The explicit analytical expressions have been obtained and the graphic interpretation of the probability density has been presented; the influence of the model parameters (lifetime duration of the potential profile and the relation of its amplitude to thermal energy) on the features of the probability density has been analyzed. We also discuss the application of the results obtained to calculations of the characteristics of Brownian motors, which model artificial nano-devices, the systems that can rectify non-equilibrium fluctuations of different nature to the directional motion of particles.