Смешанная задача для неоднородного уравнения колебаний полуограниченной струны при нестационарных первой косой производной и второй производной по x в граничном условии

Abstract

В рамках двух известных методов – характеристик и Дюамеля – с помощью новых математических приемов выведены явные формулы классических решений смешанной задачи для простейшего неоднородного уравнения колебаний полуограниченной струны при зависящих от времени коэффициентах в граничном условии с первой косой производной и второй производной по координате точек струны. С использованием этих же математических приемов установлены необходимые и достаточные условия на правую часть уравнения, начальные и граничные данные для однозначной, корректной везде разрешимости этой смешанной задачи во множестве классических решений. Принципиальная отличительная особенность этих математических приемов и получаемых с их помощью результатов от традиционных методов характеристик, Дюамеля, разделения переменных, интегральных преобразований и их результатов по решению и исследованию смешанных (начально-краевых) задач заключается в отсутствии каких-либо продолжений правой части уравнения, начальных и граничного данных вне множества задания смешанных задач. = Within the framework of the known method of characteristics and the Duhamel’s method with new mathematical techniques we derive explicit formulas of classical solutions of the mixed problem for the simplest inhomogeneous vibration equation of a semi-bounded string at the time-dependent coefficients in the boundary condition with the first oblique derivative and the second derivative of the coordinate points of the string. Using the same mathematical techniques, we establish necessary and sufficient conditions on the right-hand side, the initial and boundary data for unique everywhere correct solvability of this mixed problem in a variety of classical solutions. The principal distinguishing feature of these mathematical techniques and produced the results with the help of them unlike the traditional methods of the characteristics, Duhamel, separation of variables, integral transforms and their results to solve and to study mixed (initial-boundary) problems is the lack of any extensions of the right side of the equation, initial and boundary data outside the set of mixed problems.