Формула замены переменной в стохастическом интеграле Стратоновича и ее обобщения для стохастических θ-интегралов

Abstract

Приводятся отличные от общепринятых определения стохастического интеграла Стратоновича и стохастических θ-интегралов для одномерного стандартного случайного процесса броуновского движения, когда подынтегральная функция представляет собой функцию одной переменной от броуновского движения. В этом случае доказана эквивалентность приведенных определений классическим. Введенные определения позволяют обосновать использование формулы замены переменной применительно к стохастическим интегралам Стратоновича и получить обобщения формулы замены переменной для стохастических θ-интегралов (0 < θ ≤ 1). В случае стохастических θ-интегралов замена переменной осуществляется лишь в допредельной интегральной сумме. Сходимость интегральных сумм установлена в пространстве L1 (Ω, A, P) для дифференцируемых функций одной переменной, имеющих непрерывную производную и удовлетворяющих определенным условиям. Полученные результаты могут быть применены в стохастическом анализе, а также в его приложениях при вычислении стохастических интегралов. = The article presents the definitions, different from the conventional, of the Stratonovich integrals and stochastic θ-integrals for one-dimensional standard stochastic process of Brownian motion in a case where the integrand is a function of one variable of Brownian motion. In this case, the equivalence of new definitions and classis definitions is proved. The definitions are introduced enable to justify the u-substitution applied to the Stratonovich integrals and to receive a generalization of u-substitution for stochastic θ-integrals (0 < θ ≤ 1). In the case of stochastic θ-integrals, a variable substitution is performed only in a prelimit integral sum. The convergence of the integral sums is shown in L1(Ω, A , P) for differentiable functions of one variable with a continuous derivative, satisfying the certain conditions. The obtained results can be used in the stochastic analysis, as well as for its applications in the calculation of stochastic integrals.