On the pseudo-stability of semidynamical systems

Abstract

Введено свойство псевдоустойчивости как необходимое условие орбитальной устойчивости замкнутых инвариантных множеств полудинамических систем на произвольном метрическом пространстве. Приведена классификация устойчивоподобных свойств в форме диаграммы, которая отражает взаимоотношения псевдоустойчивости и равномерной псевдоустойчивости с известными характеристиками качественной теории устойчивости полудинамических систем (инвариантность, устойчивость, притяжение и их модификации). Установлена связь между понятием псевдоустойчивости и определением первого интеграла полудинамической системы. Сформулированы критерии псевдоустойчивости в форме достаточных условий с использованием определенно положительных и знакопостоянных функций Ляпунова. Даны комментарии к результатам на иллюстративных примерах. = Pseudo-stability property is introduced as a necessary condition of the orbital stability of closed positively invariant sets of semidynamical systems defined on an arbitrary metric space. We give a classification of stability-like properties in the form of a diagram. The diagram reflects the relationship between pseudo-stability and uniform pseudo-stability with known characteristics of qualitative stability theory of motion of semidynamical systems (invariance, stability, attraction and their modifications). We establish particular connection between the pseudo-stability notion and first integrals of semidynamical systems. The criteria of pseudo-stability are formulated and sufficient conditions for this property with positive definite and semidefinite Lyapunov functions are provided. We also give comments on the results with a number of illustrating examples.