Сравнительный анализ условий сходимости метода Ньютона – Канторовича для приближенного решения нелинейных операторных уравнений

Abstract

The article is devoted to the comparative analysis of two different conditions that enable the Newton – Kantorovich successive approximation technique for solving nonlinear operator equations of the form f ( x) = 0 in Banach spaces. These conditions are the Hölder continuity on the one hand and the regular smoothness proposed by A. Galperin and Z. Waksman on the other hand. It is shown that the regular smoothness condition provides faster convergence to the solution of the equation because of this condition is more restrictive than the Hölder continuity condition. This result is based on the fact that the regular smoothness condition may be replaced by a simpler one in which increments of the derivative of the operator f are majorized by increments of a scalar function. = Проведен сравнительный анализ двух различных условий гладкости для приближенного решения методом Ньютона – Канторовича нелинейных операторных уравнений вида f ( x) = 0 в банаховых пространствах: обобщенного условия Гёльдера и условия регулярной гладкости, предложенного А. Гальпериным и З. Ваксманом. Установлено, что улучшение оценок скорости сходимости последовательных приближений по методу Ньютона – Канторовича к точному решению уравнения f ( x) = 0 при предположении регулярной гладкости оператора f имеет место за счет того факта, что данное условие является более жестким требованием гладкости по сравнению с обобщенным условием Гёльдера. Это, в свою очередь, удалось заметить благодаря замене условия регулярной гладкости более простой его модификацией, в записи которой приращения производной оператора f мажорируются приращениями скалярной функции.