Периодические E-центральные m-кольца

Abstract

In this article the theorem about a decomposition of a associative ring with identity and commuting idempotents in a subdirect product of A-rings (possessing exactly two idempotents – the null and the identity) is generalized to m-rings. In the theory of m-rings the notion of A-ring corresponds the notion of Е-primary m-ring.The article deals with periodic Е-centra m-rings, i. e. such m-rings (K, +, •, ○), in which every monogenic subsemigroup of the semigroup (K, ○) is fi nite and all idempotents are central. The class of all periodic Е-central m-rings contains all nil-m-rings and all Е-primary periodic m-rings. The main theorem confi rms, that any periodic Е-central m-ring K is either a nil-m-ring or an extention of a nil-m-ring by a subdirect product of Е-primary periodic m-rings. With the set of idempotents of K to be fi nite, the m-ring K is a direct sum of fi nite number of ideals, every of that is a Е-primary periodic m-ring. In turn every Е-primary periodic m-ring is an extention of a nil-m-ring by a division periodic ring. It is shown using the examples, that the condition of periodicity and the condition of Е-centrality in the main theorem can not weakened. = В данной работе обобщается на m-кольца теорема о разложении (ассоциативного) кольца с единицей и коммутирующими идемпотентами в подпрямое произведение А-колец (имеющих только два идемпотента – единицуи нуль) [11, предложение 2]. В теории m-колец имеется аналог этого понятия – Е-примарные m-кольца – это такие m-кольца, у которых ο-почтикольцо имеет в точности два идемпотента – нулевой и единичный элементы. m-Кольцо (К, +, •, ○) называется периодическим, если ο-полугруппа (K, ○) периодична, т. е. всякая ее подполугруппа, порожденная одним элементом, конечна; и m-кольцо называется Е-центральным, если любой его идемпотент перестановочен с любым элементом этого m-кольца. Класс Е-центральных включает в себя все ниль-m-кольца, все Е-примарные и все m-кольца с делением. Основная теорема утверждает, что каждое Е-центральное периодическое m-кольцо К является либо ниль-m-кольцом, либо разлагается в подпрямое произведение некоторого семейства Е-примарных периодических m-колец, либо является расширением ниль-m-кольца при помощи подпрямого произведения некоторого семейства Е-примарных периодических m-колец. При этом если К имеет единицу и конечное число идемпотентов, то К разлагается в прямую сумму конечного числа идеалов, являющихся Е-примарными периодическими m-кольцами. Что касается Е-примарных m-колец, то получена теорема о том, что всякое Е-примарное периодическое m-кольцо есть расширение ниль-m-кольца при помощи периодического m-кольца с делением. Примеры показывают, то условие периодичности и условие Е-центральности в основной теореме нельзя ослабить.