Полуцепность групповых колец знакопеременных и симметрических групп

Abstract

In the article, the structure of group rings of symmetric Sn and alternating An groups over an arbitrary field F of positive characteristic are studied. The purpose is to establish necessary and sufficient conditions under which the group rings FSn and FAn are serial. We show that a necessary condition for the seriality of rings FSn and FAn is the condition n < 2p. In particular, for a given field F, there is no more than a finite number of alternating and symmetric groups whose group rings over the field F are non-semisimple serial. Using the methods of the representations theory of symmetric groups, we prove that the group ring FSn can not be a serial when p ≥ 5. Using the Auslander theory, the result obtained for FSn is transferred on the rings FAn (for the case p > 2). The main result of the paper is the following statement. Let F be an arbitrary field of characteristic p. Then FSn is a non-semisimple serial ring if and only if either p = 2 and n = 2, 3, or p = 3 and n = 3, 4, 5. The ring FAn is a non-semisimple serial if and only if p = 3 and n = 3, 4, 5. Thus, we have obtained a complete answer to the question in what cases group rings FSn and FAn are non-semisimple serial. = Исследуется структура групповых колец симметрических Sn и знакопеременных An групп над произвольным полем F по-ложительной характеристики. Цель – установить необходимые и достаточные условия, при которых групповые кольца FSn и FAn будут полуцепными. Показано, что необходимым условием полуцепности колец FSn и FAn является выполнение условия n < 2p, откуда, в част-ности, следует, что для заданного поля F существует не более чем конечное число знакопеременных и симметрических групп, чьи групповые кольца над полем F полуцепные, но не классически полупростые. Методами теории представлений симме-трических групп доказывается, что при p ≥ 5 групповое кольцо FSn не может быть полуцепным. С использованием теории Ауслендера результат о полуцепности колец FSn переносится на кольца вида FAn (для случая p > 2). В результате доказано следующее утверждение. Пусть F – произвольное поле характеристики p. Тогда групповое кольцо FSn – полуцепное и не классически полупростое, если и только если либо p = 2 и n = 2, 3, либо p = 3 и n = 3, 4, 5. Групповое кольцо FAn – полуцепное и не классически полупростое, если и только если p = 3 и n = 3, 4, 5. Таким образом, получен полный ответ на вопрос, в каких случаях групповые кольца FSn и FAn являются полуцепными и не классически полупростыми.