Рациональные приближения выпуклых функций

Abstract

Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $[0,1]$, $\omega(\,\cdot\,)=\omega(\,\cdot\,,f)$ — модуль непрерывности $f$ и $R_n(f)$ — наилучшее равномерное приближение $f$ рациональными функциями степени $\le n$. В работе, в частности, показано, что если $f$ имеет на интервале $(0,1)$ $(r-1)$-ю $(r\ge 1)$ выпуклую производную, то

$\displaystyle R_n(f)\le\frac c{n^{r+1}}\biggl(\int^1_{e^{-n}}\sqrt[r+1]{\frac{\omega(x)}{\vert{\ln x}\vert}}\frac{dx}x\biggr)^{r+1} \qquad (n=1, 2,\dots), $

где $c>0$ и зависит лишь от $r$