Пространства Смирнова–Соболева и их вложения”

Abstract

Пусть $G$ – односвязная ограниченная область со спрямляемой границей $\partial G$ и $0<p<\infty$. Через $E_p(G)$ обозначим пространство В. И. Смирнова функций $f$, аналитических в $G$. Пространство Смирнова–Соболева $E_p^s(G)$, $s\in\mathbb{N}$, состоит из функций $f$, аналитических в $G$, таких, что $f^{(s)}\in E_p(G)$. Если $G$ – круг, то $E_p(G)$ есть пространство Харди, а $E_p^s(G)$ – пространство Харди–Соболева. В последнем случае известно следующее вложение Харди–Литтлвуда:

$\displaystyle E_\sigma^s(G)\subset E_p(G), \qquad 1/\sigma=s+1/p. $

Это вложение недавно было обобщено автором на пространства Смирнова–Соболева в областях Лаврентьева. В настоящей работе получено дальнейшее обобщение вложения Харди–Литтлвуда. Именно показано, что это вложение выполняется, если область $G$ удовлетворяет условию: для любых точек $\xi$ и $\eta$ из $\partial G$ справедливо неравенство

$\displaystyle \vert\Gamma(\xi,\eta)\vert\leqslant \chi\rho^+(\xi,\eta), \qquad \chi=\chi(G)\geqslant 1. $

Здесь $\vert\Gamma(\xi,\eta)\vert$ – длина наименьшей из двух дуг $\partial G$, соединяющих точки $\xi$ и $\eta$; $\rho^+(\xi,\eta)$ – внутреннее расстояние (относительно $G$) между точками $\xi$ и $\eta$.