О разложении обобщенных треугольных групп в амальгамированное свободное произведение

Abstract

В работе исследуется проблема разложения в нетривиальное амальгамированное свободное произведение обобщенных треугольных групп. Доказаны следующие две теоремы. Пусть $G=<a,b | a^{2n}=R^m(a,b)=1>$, где m>1, R(a,b) - циклически редуцированное слово в свободной группе с образующими a и b, содержащее b. Тогда G является нетривиальным амальгамированным свободным произведением. Теорема 2 утверждает следующее. Пусть $G=<a,b | a^n=R^m(a,b)=1>$, где m>2 и R(a,b) - циклически редуцированное слово в свободной группе с образующими a и b, содержащее b. Если $R(a,b)=a^{u_1}b^{v_1}\dots a^{u_s}b^{v_s}$ и произведение всех |v_i| больше двух, тогда группа G является нетривиальным амальгамированным свободным произведением. В качестве следствия из теоремы 1 получаем, что произвольная группа с двумя образующими и одним соотношением с кручением разложима в нетривиальное амальгамированное свободное произведение, что дает положительный ответ на известную гипотезу Файна (Fine B.), Левина (Levin F.) и Розенбергера (Rosenberger G.).