Чебышевские рациональные приближения в круге, на окружности и на отрезке

Abstract

Пусть функция $f$ аналитична в круге $\{z:\vert z\vert<1\}$ и непрерывна в его замыкании. Через $R_n(f)$ обозначим наилучшее равномерное приближение $f$ рациональными дробями степени не выше $n$. Е. П. Долженко в 1965 г. установил, что если $\sum R_n(f)<\infty$, то $f'$ принадлежит пространству Харди $H_1$. В работе получено следующее обращение этого результата: если $f'\in H_1$, то $R_n(f)=O(1/n)$. Эта оценка в сочетании с результатами В. В. Пеллера, С. Семмеса и автора дает, в частности, описание множества функций $f$, для которых $\bigl[\sum(2^{k\alpha}R_{2^k}(f))^q\bigr]^{1/q}<\infty$, где $\alpha>1$ и $0<q\le\infty$.