Конечные обобщенные цепные дроби в евклидовых кольцах

Abstract

For a large class of Euclidean domains there are proved criteria of the existence of an expansion for a fi xed element of fractions fi eld of the Euclidean domain to a generalized continued fraction with the fi xed length over domain’s elements. The main idea of the proof consists in fi nding a class of transformations of the fractions fi eld element that doesn’t change the solvability of the Diophantine equation with unknown continued fraction in the left-hand side and in using the properties of fractional parts in the fractions fi eld of the Euclidean domain. For the class of Euclidean domains there are obtained an analogue of the Kronecker theorem about the minimal length of the generalized Euclid algorithm, i.e. the minimal length of the generalized Euclid algorithm is equal to the length of the Euclid algorithm with choosing the residue with the minimal value of the norm on each step. There are shown that the Euclidean domains, which are considered in the paper, contain the rings of integers, Gaussian integers and polynomials over a field. = Для широкого класса евклидовых колец доказаны критерии существования разложения данного элемента поля частных евклидова кольца в обобщенную цепную дробь фиксированной длины по элементам кольца. Ключевая идея доказательства состоит в нахождении класса преобразований элемента поля частных, не изменяющих разрешимость диофантова уравнения с неизвестной цепной дробью в левой части, а также в использовании свойств дробных частей поля частных евклидова кольца. Для рассматриваемых евклидовых колец установлен аналог теоремы Кронекера о минимальной длине обобщенного алгоритма Евклида, а именно, минимальная длина обобщенного алгоритма Евклида равна длине алгоритма Евклида с выбором минимального по норме остатка на каждом шаге. Показано, что евклидовы кольца, рассматриваемые в статье, охватывают кольца целых чисел, целых гауссовых чисел, многочленов над полем.