Безматричные итерационные процессы со среднеквадратичным подавлением ошибки для больших систем нелинейных уравнений

Abstract

Рассмотрены итерационные процессы решения больших систем нелинейных уравнений, не требующие хранения и факторизации матрицы Якоби. Для ускорения сходимости в случае большого спектрального числа обусловленности этой матрицы предлагается специальная техника среднеквадратичного подавления ошибки, реализация которой требует решения линейной задачи наименьших квадратов небольшой размерности. В линейном случае полученный метод схож с предобусловленным обобщенным методом минимальных невязок. В нелиней- ном же случае в отличие от популярного безматричного метода Ньютона – Крылова разработанный подход не содержит операции разностной аппроксимации производной. Проведены вычислительные эксперименты на трех системах нелинейных уравнений, возникающих в результате конечно-разностной аппроксимации двумерных уравнений в частных производных эллиптического типа. Показано преимущество разработанного подхода по сравнению с методом Ньютона – Крылова на рассмотренных тестовых задачах. = New iterative processes for numerical solution of big nonlinear systems of equations are considered. The processes do not require factorization and storing of Jacobi matrix and employ a special technique of convergence acceleration which is called least-squares error damping and requires solution of auxiliary linear least-squares problems of low dimension. In linear case the resulting method is similar to the general minimal residual method (GMRES) with preconditioning. In nonlinear case, in contrast to popular Newton – Krylov method, the computational scheme do not involve operation of difference approximation of derivative operator. Numerical experiments include three nonlinear problems originating from two-dimensional elliptic partial differential equations and exhibit advantage of the proposed method compared to Newton – Krylov method.