Вычисление хаусдорфовых размерностей бассейнов эргодических мер в кодирующих пространствах

Abstract

Рассмотрены пространства XN последовательностей элементов конечного алфавита X (кодирующие пространства) и эргодические меры, заданные на них. Изучены бассейны эргодических мер и хаусдорфовы размерности таких бассейнов относительно ультраметрики, определяемой произведением коэффициентов из единичного отрезка Ɵ(x) , x ∈ X. Для вычисления хаусдорфовых размерностей бассейнов применяются методы Биллингсли – Янг, связывающие хаусдорфову размерность множества с поточечной размерностью некоторой меры на этом множестве. Применяются также теорема Шеннона – Макмиллана – Бреймана в целях получения оценки снизу хаусдорфовой размерности бассейна и частичный аналог теоремы Макмиллана для получения оценки сверху. Цель настоящей работы – получение формулы для расчета размерности рассматриваемых бассейнов, выражающей хаусдорфову размерность через энтропию эргодической меры и коэффициент, определяемый заданной ультраметрикой. = In the article we consider spaces XN of sequences of elements of finite alphabet X (encoding spaces) and ergodic measures on them, basins of ergodic measures and Hausdorff dimensions of such basins with respect to ultrametrics defined by a product of coefficients of unit interval Ɵ(x) , x ∈ X. We call a basin of ergodic measure a set of points of the encoding space which define empiric measures by means of shift map, which limit (in a weak topology generated by continuous functions) is the ergodic measure. The methods of Billingsley and Young are used, which connects Hausdorff dimension and a pointwise dimension of some measure on the space, as well as Shannon – McMillan – Breiman theorem to obtain a lower bound of the dimension of a basin, and a partial analogue of McMillan theorem to obtain the upper bound. The goal of the article is to obtain a formula which can help us to calculate the Hausdorff dimension via entropy of the ergodic measure and a coefficient defined by the ultrametrics.