Создание и использование математических моделей динамических биосистем : подпрограммы «Междисциплинарные естественнонаучные исследования как база развития технологий будущего» («Современное естествознание и технологии будущего») государственной программы научных исследований «Междисциплинарные научные исследования, новые зарождающиеся технологии как основа устойчивого инновационного развития» ГПНИ «Конвергенция»: отчет о научно-исследовательской работе (заключительный) / БГУ; научный руководитель Н.Г. Абрашина-Жадаева

Abstract

Объект исследования — класс задач о тепло и массопереносе в неоднородных средах. Цель работы состоит в математическом моделировании процессов в биосистемах и сложных системах на основе интегродифференциальных уравнений дробных и целых порядков. Задачей работы является разработка методов и алгоритмов решения интегродифференциальных уравнений и реализация их в программах компьютерного моделирования моделей биосистем, разработка методических и учебных пособий, организация образовательного поля в сфере информационных когнитивных технологий. В процессе работы рассмотрены проблемы связанные с построением математических моделей динамических биосистем, учитывающих эффекты запаздывания и памяти, объ- единение «задержек по времени» в численную модель. Идеология указанных проблем в математическом отношении приводит к решению дифференциальных уравнений с про- изводными дробных порядков. На основе уравнений Нернста – Планка – Пуассона была предложена обобщенная модель электродиффузионного процесса, учитывающая аномальную диффузию, где в дифференциальной системе уравнений присутствует дробный оператор Герасимова – Капутто порядка α, 0 < α < 1. При этом выполняется «принцип соответствия», т. е. при α → 1 дробные уравнения переходят в классическую систему уравнений. В результате исследований создана новая численная модель на основе двумерного дроб- ного уравнения Фоккера – Планка, хорошо согласующаяся с представлениями о прыж- ковом механизме перемещения частиц. Для численной реализации модели предложены модифицированные неявные схемы с аппроксимационными аналогами операторов Гера- симова – Капутто и Римана – Лиувилля. Показано, что приближенные модели, учитывающие эффект эредитарности, согласованы с двумерной краевой задачей аномального субдиффузионного процесса. Построены явные и неявные разностные схемы для числен- ного решения уравнений односторонней и двусторонней диффузии в многомерной области (размерностью 3 и более) с дробными производными по пространству и времени. Опре- делены оптимальные условия устойчивости, предложенных явных дискретных моделей и сравнительные оценки скорости сходимости. Найдены достаточные условия устойчивости и сходимости для неявных схем для диффузионных уравнений с дробными про- изводными как по пространству так и по времени. Проведена верификация алгоритмов на модельных задачах. Показано согласование с теоретическими результатами. Предложен алгоритм приближенного решения интегральных уравнений второго рода, на основе построеных квадратурных формул с чебышевским весом, точные на рациональных функциях и установлены оценки погрешности приближенного решения в терминах наилучших приближений правых частей и ядер интегрального уравнения. Научные результаты, по мере их получения включались в лекционный курс по методам математической физики, применялись при выполнении курсовых, дипломных и диссертационных работ