Разрешимые случаи для упрощенных систем в задаче движения четырех частиц в плоскости

Abstract

Рассмотрена система, описывающая движение четырех частиц в плоскости. С помощью элементарных алгебраических преобразований установлены упрощенные системы, состоящие из нелинейных дифференциальных уравнений, каждое из которых имеет второй порядок. Найдены наборы констант межчастичного взаимодействия в двух случаях исследуемой задачи в плоскости, при которых общее решение можно записать в замкнутом (довольно простом) виде. Получено 26 нелинейных автономных дифференциальных уравнений первого порядка относительно одной из компонент системы, общее решение которых является целым (т. е. эти обыкновенные дифференциальные уравнения обладают свойством Пенлеве), а также 46 нелинейных автономных дифференциальных уравнений первого порядка, общее решение которых со-держит логарифм, а значит, данные уравнения не являются уравнениями типа Пенлеве. Установлены необходимые и достаточные условия наличия свойства Пенлеве у исследуемой системы, выделяющие 26 случаев в задаче четырех частиц в плоскости, при которых возможно описание траекторий движения данных частиц. Полученные результаты могут быть применены в аналитической теории дифференциальных уравнений, а также в исследованиях проблемы многих тел. = In the main part consider a system describing the motion of the four bodies in the plane. By elementary algebraic manipulations installed simplified systems, consisting of non-linear differential equations, each of which has a second order. Get a set of constants of the interparticle interaction in the two cases the problem under investigation in the plane, in which the general solution can be written in a closed (rather simple) form. Obtained 26 nonlinear autonomous differential equations of first order with respect to one of the components of the system, the general solution of which is an integer, i. e. these ordinary differential equations possess the Painlevé property, as well as 46 autonomous nonlinear first order differential equations, the general solution which contains a logarithm, and therefore, these equations are not the equations of Painlevé type. Establish necessary and sufficient conditions for the existence of the Painlevé property in studied system, releasing 26 cases in the four-particle in the plane in which the description of the possible trajectories of the particles. The results can be applied in the analytical theory differential equations, as well as in studies of many-body problem.