Анализ системы Гарнье с двумя независимыми переменными

Abstract

Garnier systems are a natural generalization of the Painlevé equations to the case of several variables. Origin Garnier system is obtained for the construction of isomonodromic deformation of a homogeneous second-order ODE with variable coeffi cients has n removable singular points and n+3 Fuchsian singular points. Number of removable singular points corresponds to the number of in-dependent variables in the resulting system. In the case where the system has a single independent variable, it coincides with the sixth Painleve equation. By making the change of variables and parameters one can make coupling confl uence process of Garnier system, a similar to coupling confl uence process of the Painlevé equations. The resulting systems are called degenerate Garnier systems and are natural extensions of the Painlevé equations to the case of several variables. This article is devoted to the Garnier system in two variables, which is a generalization of the second Painlevé equation for the case of two independent variables. New classes of algebraic solutions, and solutions expressed in terms of the Bessel function of the fi rst kind are considered. = Системы Гарнье являются естественным обобщением уравнений Пенлеве на случай многих переменных. Исходная система Гарнье получается при построении изомонодромной деформации однородного ОДУ второго порядка с переменными коэффициентами, имеющего n устранимых особых точек и n+3 фуксовых особых точек. Количество устранимых особых точек соответствует числу независимых переменных в полученной системе. В случае когда данная система имеет одну независимую переменную, она совпадает с шестым уравнением Пенлеве. Делая замены переменных и параметров, можно осуществить процесс слияния для системы Гарнье, аналогичный процессу слияния для уравнений Пенлеве. Полученные системы Гарнье называются вырожденными и являются естественным обобщением других уравнений Пенлеве на случай многих переменных. В данной статье рассматривается система Гарнье с двумя независимыми переменными, которая является обобщением второго уравнения Пенлеве на случай двух независимых переменных. Приводятся классы новых алгебраических решений, а также решений, выражающихся через функцию Бесселя первого рода.