Одномерная обобщенная кулоновская задача

Abstract

Рассмотрена квантово-механическая кулоновская задача, усложненная в двух направлениях. Первое обобщение связано с переходом из евклидова пространства нулевой кривизны в одномерные геометрии Кэли – Клейна, а второе – с добавлением к кулоновскому потенциалу сингулярного члена g | x2 . Его можно рассматривать как потенциал Калоджеро – Сазерленда, который обычно используется для описания анионов, магнитных монополей, дионов и т. д. Помимо методологического аспекта, представленная задача будет полезна как частный случай так называемой модели с координатно-зависимой массой при описании наноструктур в квантовых точках или на плоскости, а также метаматериалов и астрономических объектов в сильных магнитных полях. На положительной координатной полуоси она превращается в обобщение модели с потенциалом Кратцера, который традиционно используется для описания молекулярной энергии и структуры, взаимодействий между различными молекулами и несвязанными атомами. С помощью метода факторизации найдены спектр энергии и волновые функции стационарных состояний, имеющие кривизну пространства в качестве параметра. Формула для уровней энергии содержит два слагаемых. Первое слагаемое дает спектр энергии обычной одномерной кулоновской задачи, а второе слагаемое в явном виде зависит от наличия кривизны и отвечает за спектр частицы на окружности S j . Константа связи g, характеризующая потенциал Калоджеро – Сазерленда, входит в оба слагаемых нелинейно через величину β0 (g2 представляющую собой аддитивную поправку к порядковому номеру энергетического уровня. В частном случае чисто кулоновского поля полученные результаты совпадают с ранее опубликованными результатами.