Условия оптимальности в математических моделях с неточно заданными данными : отчет о научно-исследовательской работе (заключительный) / научный руководитель В. В. Гороховик

Abstract

Объектом исследования являются математические модели с неточными данными, в частности, неточно заданные операторные уравнения и численные методы их решения, задачи векторной оптимизации с неточно заданными целевым отображением и отношени- ем предпочтения, а также динамические системы со случайными исходными данными. Цель исследований — разработка методов исследования математических моделей с неточными данными, анализ взаимосвязи между погрешностью исходных данных и неопре- деленностью решения, нахождение вероятностных и/или статистических характеристик математических моделей со случайными исходными данными. Проведено исследование метода Ньютона–Канторовича при предположении о регуляр- ной гладкости оператора, задающего уравнение, и показано, что для анализа такого рода уравнений применим классический метод мажорант Л.В. Канторовича. Предложен новый подход к изучению асимптотики поведения длин векторов-ошибок при применении ме- тода последовательных приближений для линейных операторных уравнений. Показано, что при вычислении последовательных приближений с достаточно большими номерами наиболее вероятными являются максимально возможные ошибки. Получена асимптотика поведения ошибок в явном виде. Для широкого класса конусов неотрицательных измеримых функций исследованы про- блемы оптимального восстановления банахова и обобщенного банахова функционального пространства, содержащего заданный конус. Получены общие формулы для функциональ- ной нормы, ассоциированной с нормой оптимального пространства, а также конкретиза- ция норм в случае, когда конус задан с помощью интегрального представления. Введено и систематически исследовано понятие спектрального потенциала на произ- вольном вероятностном пространстве. Для спектрального потенциала и действия Куль- бака доказана совокупность калибровочных равенств, принцип наименьшего действия и оценка, связывающая значение действия Кульбака на двух мерах с нормой их разности. Проведено исследование свойств статистических оценок для простейших семейств гибб- совских мер на основе косвенных наблюдений. Для таких оценок доказан аналог неравен- ства Рао–Крамера, введено понятие относительной эффективности и доказано существо- вание относительно эффективных косвенных оценок. Для задачи векторной оптимизации с неточно заданным отношением предпочтения введено понятие гарантированно оптимального решения и разработаны необходимые, а также достаточные условия первого и второго порядка для гарантированно оптимальных решений задач с априори негладким целевым отображением.