Вычисление параметра размытости в задаче оценивания плотности вероятностей по выборкам зависимых отсчётов

Abstract

We consider the problem of bandwidth selection in kernel estimation of the marginal probability density on the basis of sample from a stationary Markov process. Our criterion for bandwidth selection is the mean integrated square difference between the kernel estimator and the true marginal density. For dependent sample data this criterion contains an unknown joint probability density of the sample values. This considerably complicates the estimation problem. The paper suggests an approximation for the mean integrated square difference. This approximation takes into account the presence of dependence in the sample data, but at the same time does not contain the joint probability density. We also obtain an expression for the bandwidth that does not require any assumptions about the functional form of the unknown marginal probability density. The possibility of the practical application of the proposed approximation is demonstrated by the example of bandwidth selection in kernel estimation of marginal probability densities for the interest rates processes, which are described by three well-known models (Vasicek model, Cox – Ingersoll – Ross model and Ahn – Gao model). In addition, we obtain the explicit expression for bandwidth in a case of Gaussian kernel and Vasicek model. It is shown that for the models of interest rates processes, the proposed approximation has a significant advantage over the approximation of the mean integrated square difference, which is commonly used for bandwidth selection in the case of independent sample data. Рассматривается задача вычисления параметра размытости при непараметрическом ядерном оценивании маргинальной плотности вероятностей стационарного марковского случайного процесса на основе выборочных данных. Для вычисления параметра размытости используется интегральное среднеквадратичное отклонение непараметрической ядерной оценки от истинной маргинальной плотности вероятностей. В случае зависимых выборочных данных оно содержит неизвестную совместную плотность вероятностей элементов выборки. Это обстоятельство значительно усложняет задачу оценивания.Предложена аппроксимация для интегрального среднеквадратичного отклонения, которая учитывает наличие зависимости в выборочных данных, но в то же время не содержит совместной плотности вероятностей. Также на основе данной аппроксимации получено выражение, позволяющее вычислять параметр размытости, не делая никаких предположений о виде неизвестной маргинальной плотности вероятностей.