Предельные циклы нормального размера некоторых классов квадратичных систем на плоскости

Abstract

We consider a quadratic system. It is known that a quadratic system can have only limit cycles enclosing a unique singular point, which is a focus, as well as it can have no more than two foci. The following distributions of limit cycles for quadratic systems (1) are known as: (a) 1, (1,0); (b) 2, (2,0); (c) 3, (3,0); (d) (1,1); (e) (2,1); (f) (3,1). In this very paper, we suggest the method of construction systems (1) with distribution of (e) and (f) limit cycles for the different configurations of singular points. The existence of the exact given number of limit cycles is proved by using the Dulac function. All limit cycles of the given systems can be detected through numerical methods; i. e. the limit cycles have «a normal size», Perko’s definition. = Рассматривается квадратичная система. Система (1) может иметь только предельные циклы, окружающие единственную особую точку, которая является фокусом, а также она может иметь не более двух таких фокусов. В настоящее время известны следующие распределения: (a) 1, (1,0); (b) 2, (2,0); (c) 3, (3,0); (d) (1,1); (e) (2,1); (f) (3,1). Предлагается метод построения систем (1) с распределением (e) и (f) предельных циклов для различных конфигураций особых точек. При этом обоснование распределений приводится с помощью построения модифицированной функции Дюлака. Все полученные предельные циклы легко могут быть обнаружены численными методами, т. е. предельные циклы имеют «нормальный размер» в терминологии Перко.