О максимальной секвенциально собственной топологии на множестве отображений

Abstract

Исследуются свойства пространства непрерывных отображений ( ) C X Y , с максимальными собственной ∗τ и секвенциально собственной s ∗τ топологиями, а также в случае метризуемого пространства Y с инфимальной топологией inf τ – максималь- ной по включению, содержащейся во всех топологиях равномерной сходимости. Получены следующие основные результаты: 1) при некоторых ограничениях на пространства X и Y необходимым, а также достаточным условием совпадения s ∗ ∗ τ = τ является выполнение требования: любое дискретное в X семейство непустых открытых в X множеств не более чем счетно; 2) (в случае метризуемого Y). Достаточным, а при некоторых ограничениях на X и Y и необходимым условием совпаде- ния inf s ∗ τ = τ является псевдокомпактность пространства X. = We study the properties of the space ( ) C X Y , of continuous maps with the greatest proper ∗τ and the greatest sequential proper s ∗τ topologies, as well as in the case of metrizable space Y with the topology inf τ determined as the infimum of all topologies of uni- form convergence. We obtain the following results: 1) under certain restrictions on X and Y a necessary and sufficient condition for the coincidence s ∗ ∗ τ = τ is the fulfillment of the requirements: any discrete in X family of nonempty open sets is countable; 2) (in the case of metrizable Y) Sufficient, but with some restrictions on X and Y, and a necessary condition for the coincidence inf s ∗ τ = τ is a pseudocompactness of X.