Положительное решение одной гипотезы в теории полиномиальных изохронных центров систем Льенара

Abstract

Рассматривается полиномиальная система Льенара $\dot{x}=-y,$ $\dot{y}=x+A(x)-B(x)y$ в предположении, что вещественные полиномы $A(x),$ $B(x)$ и производная $A'(x)$ удовлетворяют условиям $A(0)=B(0)=A'(0)=0.$ Доказывается, что эта система имеет в особой точке $O(0,0)$ изохронный центр тогда и только тогда, когда полиномы $A(x)$ и $B(x)$ являются нечётными функциями и связаны между собой тождеством $x3A(x)=(\int_0xsB(s)ds)2.$