Некоторые топологические свойства пространства отображений

Abstract

The subject of the study is different topologies on the set of continuous maps C(X,Y), especially the exponential topology τexp(X,Y), the topology of uniform convergence τµ(X,Y) and the topology τsup(X,Y) determined as the supremum of all topologies of the type τµ(X,Y). The following results 1, 2 are the main. Spaces X and Y are satisfies some natural conditions. Moreover, space Y is Hausdorff and developable in 1 and metrizable in 2. 1. The space (C(X,Y), τexp(X,Y)) is a k-space if and only if space X is countably compact. 2. The space (C(X,Y), τsup(X,Y)) is a k-space if and only if the closure in Y of any set f(X), where f∈C(X,Y), is compact. At that all topologies of the type τµ(X,Y) are coincides with the topology τsup(X,Y). = Изучаются различные топологии на множестве непрерывных отображений C(X,Y), в частности экспоненциальная топология τexp(X,Y),топология равномерной сходимости τµ(X,Y) и топология τsup(X,Y), определенная как супремум всех топологий вида τµ(X,Y). Основными являются результаты 1, 2. Пространства X и Y подчинены некоторым естественным дополнительным условиям, причем в 1 Y хаусдорфово с измельчением, в 2 – метризуемо. 1. Пространство (C(X,Y), τexp(X,Y)) является k-пространством тогда и только тогда, когда X cчетно компактно. 2. Пространство (C(X,Y), τsup(X,Y)) является k-пространством тогда и только тогда, когда компактно замыкание в Y любого множества f(X), где f∈C(X,Y). При этом все топологии вида τµ(X,Y) совпадают с τsup(X,Y). Утверждения в п. 1 и 2 остаются справедливыми при замене условия для C(X,Y) быть k-пространством на условие иметь счетную тесноту.