Методы некоммутативного гармонического анализа в теории динамических систем с приложениями к задачам математической физики и экологии : отчет о научно-исследовательской работе (заключительный) / БГУ ; научный руководитель А. В. Лебедев

Abstract

Объектами исследования являются нелокальные операторы, их существенные спек- тры, скрещенные произведения алгебр с эндоморфизмом, энтропийные характеристики спектральных потенциалов, вариационные принципы, инвариантные алгебры функций. Цели работы: получение условий односторонней обратимости нелокальных операторов, разработка методов расширения преобразования Лежандра для исследования пограничных ситуаций, моделирующих неустойчивые процессы, развитие методов некоммутативного гармонического анализа для построения новых операторных алгебр, разработка энтропийно-информационных методов спектрального анализа эволюционных операторов, построение новых числовых характеристик энтропийного типа, характеризующих хаотичность поведения динамических систем и выявление двойственных к ним характеристик операторов. Основными методами исследований являются: теория C∗-алгебр, спектральная теория, методы нелинейного гармонического и выпуклого анализа, методы теории информации, теория ветвящихся процессов. В результате проведенной работы исследован класс динамических систем, для которых порождающие их эволюционные и трансфер-операторы являются правосторонне обратимыми, но не являются обратимыми. Для них построены инвариантные функциональные алгебры. Исследованы свойства расширенного преобразования Лежандра. Разработаны вариационные принципы энтропийного типа для спектрального радиуса трансфер–операторов и операторов взвешенного сдвига. Построены новые скрещенные произведения C∗-алгебр и эндоморфизмов, порожденных частичными изометриями. Описана внутренняя структура введенных скрещенных произведений, получен критерий точности для их представлений и сконструированы регулярные представления. Разработана каноническая процедура редукции C∗-алгебр и динамических систем. С помощью этой редукции установлен изоморфизм между скрещенными произведениями и относительными алгебрами Кунца-Пимзнера. Известный принцип больших уклонений для эмпирических мер обобщен на ситуацию, когда независимые одинаково распределенные случайные величины принимают значения не в топологическом пространстве, а лишь в измеримом. Для цветных ветвящихся процессов доказан аналог теоремы Макмиллана и вычислены хаусдорфовы размерности случайных фракталов, определяемых в терминах предельного поведения эмпирических мер, порожденных генеалогическими линиями конечной длины. Результаты, полученные в ходе выполнения проекта отражены в 65 публикациях.