Радикал идеала фокусных величин комплексной системы Куклеса

Abstract

На примере исследования вопроса о существовании комплексного центра для комплексной системы Куклеса x = y, y=- x+ Ax2 + 3Bxy + Cy2+ Kx3+ 3Lx2 y + Mxy2+ Ny3 представлено применение нового метода получения необходимых и достаточных условий центра, разработанного А. П. Садовским и основанного на методе нормальных форм. Вместо изучения многообразия идеала фокусных величин предлагается исследовать многообразие идеала, базисом которого являются полиномы, полученные новым методом. При поиске радикала такого идеала исследование разбивается на две части: BN = 0 и BN ≠ 0. При BN = 0 найдены пять серий условий комплексного центра, в частности, четыре серии условий вещественного центра. В случае BN ≠ 0 можно считать, что в системе Куклеса B = N, а это значительно упрощает его дальнейшее изучение (получены три серии существования комплексного центра, в частности, две серии – вещественного центра). В результате исследования в работе определены необходимые и достаточные условия существования комплексного и вещественного центров для комплексной и вещественной систем Куклеса соответственно. = In the article it is considered the center-focus problem for complex Kukles system x = y, y=- x+ Ax2 + 3Bxy + Cy2+ Kx3+ 3Lx2 y + Mxy2+ Ny3 The problem is solved by the new method, obtained by A. P. Sadovski and based on the method of normal forms. Instead of investigating the variety of ideal of focal values it is proposed to study the variety of ideal with the basis – polynomials obtained by a new method. The study of the radical of such ideal is divided into two parts: the trivial case where BN  0, and the case of BN ≠ 0. If BN  0 it is obtained five series of center conditions for the complex system, in particular, four series of center conditions for the real system. In the case of BN ≠ 0 it can be assumed B  N in the Kuklesʼ system. This assumption simplifies the further study of this case (it is obtained three series of the existence of the complex center, in particular, two series of the existence of the real center). Thus, as a result of research in the present paper it is presented the necessary and sufficient conditions for the complex and real centers existence for the complex and real Kuklesʼ systems respectively.