Поведение норм степеней оператора, порожденного рациональным поворотом

Abstract

Рассмотрены операторы взвешенного сдвига, порожденные поворотами окружности. Установлено, что их свойства оказываются принципиально разными при рациональных и иррациональных углах поворота. В частности, различным является поведение норм степеней такого оператора – в случае иррационального угла h оно зависит от скорости приближения этого числа рациональными числами. Описано асимптотическое поведение норм степеней оператора, порожденного рациональным поворотом окружности. Выяснена связь с разрешимостью ассоциированного гомологического уравнения. Показано, что такие оценки не имеют места для оператора, порожденного иррациональным поворотом. Полученные результаты нужны для после-дующего описания поведения резольвенты оператора как в рациональном, так и иррациональном случае. = In this paper we consider weighted shift operators, generated by rotation of a circle. The properties of the this operators are principally different in the rational rotation angle and irrational rotation angle. In particular, the difference is the behavior of the norm of power of operators – in case irrational angle, the norm depend on the approximation this numbers to rational numbers. In this paper we obtained the description of the asymptotic behavior of the norm of power operator, generated by rational rotation of a circle. Itʼs shows that this estimate do not hold for the norm of operator, generated by irrational rotation. Obtained this result is necessary for the next description for the behavior of the resolvent operator in case where rational, also irrational.